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Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Wavelet-Paket-Transformation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Wavelet-Paket-Transformation</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b><a href="Wavelet" title="Wavelet">Wavelet</a>-Paket-Transformation</b> ist eine Erweiterung der <a href="Schnelle_Wavelet-Transformation" title="Schnelle Wavelet-Transformation">schnellen Wavelet-Transformation</a> (FWT) und dient wie diese in der <a href="Digitale_Signalverarbeitung" title="Digitale Signalverarbeitung">digitalen Signalverarbeitung</a> der Analyse und Kompression <a href="Digitales_Signal" class="mw-redirect" title="Digitales Signal">digitaler Signale</a>. In der FWT wird ein zeitdiskretes Eingangssignal mit einer <a href="Abtastrate" title="Abtastrate">Abtastrate</a> <i>F</i> mittels einer Wavelet-Filterbank (z. B. der <a href="Daubechies-Wavelets" title="Daubechies-Wavelets">Daubechies-Wavelets</a>) in einen <a href="Tiefpass" title="Tiefpass">Tiefpasskanal</a> <b>L</b> und einen <a href="Bandpass" title="Bandpass">Bandpasskanal</a> <b>H</b> mit halber Abtastrate <i>F/2</i> aufgespalten und dieses Vorgehen für den Tiefpasskanal <a href="Rekursion" title="Rekursion">rekursiv</a> wiederholt. So entstehen im darauffolgenden Schritt aus dem Kanal <b>L</b> die Kanäle <b>LL</b> und <b>LH</b> mit Abtastrate <i>F/4</i>, aus dem Kanal <b>LL</b> im nächsten Schritt die Kanäle <b>LLL</b> und <b>LLH</b> und so weiter.

</p><p>Bei der Wavelet-Paket-Transformation werden nun auch die Bandpasskanäle aufgespalten, sodass im zweiten Rekursionsschritt nicht nur <b>LL</b> und <b>LH</b>, sondern auch die Kanäle <b>HL</b> und <b>HH</b> entstehen. Im dritten Schritt entstehen so acht Teilkanäle usw. Die Teilkanäle des Ergebnisses und der Zwischenschritte können in einem <a href="Bin%C3%A4rer_Baum" class="mw-redirect" title="Binärer Baum">binären Baum</a> angeordnet werden.

</p>

<p>Diese Transformation kann dazu dienen, aus einer 2-Kanal-DWT wie z. B. den <a href="Daubechies-Wavelets" title="Daubechies-Wavelets">Daubechies-Wavelets</a> eine <i>M</i>-Kanal-DWT zu erhalten, wobei <i>M</i> eine Potenz von zwei ist, der Exponent wird Tiefe des Paket-Baums genannt. Dieses Verfahren wird in der Breitbanddatenübertragung als DWT-OFDM bzw. DWPT-OFDM als Alternative zur <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">schnellen Fourier-Transformation</a> in der FFT-<a href="Orthogonales_Frequenzmultiplexverfahren" title="Orthogonales Frequenzmultiplexverfahren">OFDM</a> angewandt.

</p><p>Hat die zugrundeliegende Wavelet-Transformation eine <a href="Multiskalenanalyse" title="Multiskalenanalyse">Skalierungsfunktion</a> φ mit Tiefpassfilter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(Z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(Z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae5c9d7cbff2c673b7af78178238c79de2d3072e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(Z)}" loading="lazy"></span> (L-Kanal) und Bandpassfilter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b(Z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(Z)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97b07fdbe8e8c4c6b2f77ae0adf561d690fc4fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b(Z)}" loading="lazy"></span> (H-Kanal), so ergeben sich die Wavelets der Kanäle zu

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{L}}(x/2)&:=a(S)\phi (x)=\sum _{n}a_{n}\phi (x-n)=\phi (x/2)\,,\\\psi _{\text{H}}(x/2)&:=b(S)\phi (x)=\sum _{n}b_{n}\phi (x-n)=\psi (x/2)\,,\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20a8f08434a28b47fe8b3b73660513a8a3ecbefa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:51.031ex; height:11.009ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{L}}(x/2)&:=a(S)\phi (x)=\sum _{n}a_{n}\phi (x-n)=\phi (x/2)\,,\\\psi _{\text{H}}(x/2)&:=b(S)\phi (x)=\sum _{n}b_{n}\phi (x-n)=\psi (x/2)\,,\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"></span> der Operator der Verschiebung (shift) um 1 in Richtung wachsender <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span>-Werte ist, d. h. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Sf)(x)=f(x-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Sf)(x)=f(x-1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd9b3275d7a63a438911cc1858bd99860551f417.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.245ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Sf)(x)=f(x-1)}" loading="lazy"></span>. Potenzen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"></span> sind dann Verschiebungen um den Exponenten der Potenz, Laurent-Polynome in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</p><p>Bis hier sind die Funktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }" loading="lazy"></span> identisch mit den in der FWT auftretenden. Im zweiten Schritt ergeben sich neue Funktionen

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{LL}}(x/4)&:=a(S^{2})a(S)\phi (x)=\phi (x/4),\\\psi _{\text{LH}}(x/4)&:=b(S^{2})a(S)\phi (x)=\psi (x/4),\\\psi _{\text{HL}}(x/4)&:=a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HH}}(x/4)&:=b(S^{2})b(S)\phi (x)\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e518ae43b1118c4cf9b722661171167bb313f2f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; margin-top: -0.271ex; width:39.444ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{LL}}(x/4)&:=a(S^{2})a(S)\phi (x)=\phi (x/4),\\\psi _{\text{LH}}(x/4)&:=b(S^{2})a(S)\phi (x)=\psi (x/4),\\\psi _{\text{HL}}(x/4)&:=a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HH}}(x/4)&:=b(S^{2})b(S)\phi (x)\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Ist das <a href="Kontinuierliche_Fourier-Transformation" class="mw-redirect" title="Kontinuierliche Fourier-Transformation">Spektrum</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (x)=\psi _{\text{LL}}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (x)=\psi _{\text{LL}}(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9d671a4e15d1fe6517bbf0d62c489bbcbb71a42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.562ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (x)=\psi _{\text{LL}}(x)}" loading="lazy"></span> nahezu optimal auf das Basisband <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[0,1/2\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[0,1/2\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05186eaa3249b99b195b85a904a416cdc0876cae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[0,1/2\right]}" loading="lazy"></span> beschränkt und sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> gute frequenzselektive <a href="Digitales_Filter" class="mw-redirect" title="Digitales Filter">digitale Filter</a> für die sich 1-periodisch wiederholenden <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervalle</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[-1/4,1/4\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[-1/4,1/4\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cf21c1c72766bb8f8e4b7655eedb1e00f7aabf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.11ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[-1/4,1/4\right]}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[1/4,3/4\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[1/4,3/4\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/372479771e079235fc3deecd34a6557fa5a2a246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.302ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[1/4,3/4\right]}" loading="lazy"></span>, so wird das Spektrum von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x)=\psi _{\text{LH}}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x)=\psi _{\text{LH}}(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9d25cd90b70d8550f561dbdcc7a3dfa2f23c193.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (x)=\psi _{\text{LH}}(x)}" loading="lazy"></span> auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[1/2,1\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[1/2,1\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/635e14e3bc1abcf9957dc353f1d07a386f3877aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[1/2,1\right]}" loading="lazy"></span> konzentriert sein, das von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{\text{LH}}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{\text{LH}}(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/607a71dd4e07adae579cd9d8c17fe37ddfe3650a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.144ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi _{\text{LH}}(x)}" loading="lazy"></span> auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\left[-1/2,1/2\right]\cup \left[3/2,5/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[3/2,2\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\left[-1/2,1/2\right]\cup \left[3/2,5/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[3/2,2\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70224c394d5269d920f86988e82b4781e53c214f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\left[-1/2,1/2\right]\cup \left[3/2,5/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[3/2,2\right]}" loading="lazy"></span>, das von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{\text{HH}}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{\text{HH}}(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72ccb9b6ec3a83ff139509b12d706b5a65a123e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi _{\text{HH}}(x)}" loading="lazy"></span> auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\left[1/2,3/2\right]\cup \left[5/2,7/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[1,3/2\right]}">

<mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\left[1/2,3/2\right]\cup \left[5/2,7/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[1,3/2\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f7c4d4ef526206a3899f7defe93a936f6e20c17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.543ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\left[1/2,3/2\right]\cup \left[5/2,7/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[1,3/2\right]}" loading="lazy"></span>, d. h. die Frequenzbänder der Kanäle sind in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[0,2\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[0,2\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48f179e8c1aed360a6ebc93b92c7698b5b255038.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[0,2\right]}" loading="lazy"></span>, jedes mit Breite 1/2, in der Reihenfolge LL, LH, HH, HL angeordnet.

</p><p>Im dritten Schritt dann

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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<msup>

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</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{LLL}}(x/8)&:=a(S^{4})a(S^{2})a(S)\phi (x)=\phi (x/8),\\\psi _{\text{LLH}}(x/8)&:=b(S^{4})a(S^{2})a(S)\phi (x)=\psi (x/8)\,,\\\psi _{\text{LHL}}(x/8)&:=a(S^{4})b(S^{2})a(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{LHH}}(x/8)&:=b(S^{4})b(S^{2})a(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HLL}}(x/8)&:=a(S^{4})a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HLH}}(x/8)&:=b(S^{4})a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HHL}}(x/8)&:=a(S^{4})b(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HHH}}(x/8)&:=b(S^{4})b(S^{2})b(S)\phi (x)\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c10e8d4835be4dc49af8cc9b058181d96e867d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.671ex; width:46.574ex; height:26.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{LLL}}(x/8)&:=a(S^{4})a(S^{2})a(S)\phi (x)=\phi (x/8),\\\psi _{\text{LLH}}(x/8)&:=b(S^{4})a(S^{2})a(S)\phi (x)=\psi (x/8)\,,\\\psi _{\text{LHL}}(x/8)&:=a(S^{4})b(S^{2})a(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{LHH}}(x/8)&:=b(S^{4})b(S^{2})a(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HLL}}(x/8)&:=a(S^{4})a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HLH}}(x/8)&:=b(S^{4})a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HHL}}(x/8)&:=a(S^{4})b(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HHH}}(x/8)&:=b(S^{4})b(S^{2})b(S)\phi (x)\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>usw.

</p><p>In der folgenden Grafik wurden die Wavelets der dritten Stufe dargestellt, die sich aus dem Daubechies-12-Tap-Wavelet D12 ergeben, der Übersichtlichkeit halber ganzzahlig verschoben. Daneben die Amplituden der Fourier-Transformierten der einzelnen Wavelets. Man kann aus den Spektren im Amplitudenbereich oberhalb 0,7 die Aufteilung des Frequenzbandes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[0,4\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[0,4\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd04af5bb35776de469be99e538a5cc93c2c90bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[0,4\right]}" loading="lazy"></span> in die acht Teilkanäle der Breite 1/2 mit der Reihenfolge LLL, HLL, HHL, LHL, LHH, HHH, HLH, LLH ablesen. Dies entspricht einer Variante eines <a href="Gray-Code" title="Gray-Code">Gray-Codes</a>.

</p>

<table>

</td>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mobnets.rwth-aachen.de/pub/WPM_performance_Wiley_final.pdf">Wavelet Packet Modulation for Wireless Communications</a> (PDF, englisch; 677 kB)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://code.google.com/p/jwave/">Implementierung der Wavelet-Paket-Transformation in Java</a> (englisch; Softwareprojekt)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2021-12-26" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Wavelet-Paket-Transformation&oldid=218501840">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>